Глубокоуважаемый Игорь Борисович,

лично у меня меня, увы, нет ни малейшего опыта работы со школьниками. Мне кажется, что даже с аспирантами научная работа удается не каждый раз, со студентами еще реже, а уж со школьниками -- просто трудно поверить. Вы же печетесь не о редких вундеркиндах вроде Матиясевича или Дринфельда, а о массовой (хотя и элитной) работе с десятками ребят...

Все же мне очень нравится пропагандируемая Вами идея "естественнонаучного" подхода к математике, когда целью является понимание, а не рекордно быстрое или короткое решение специально для этой цели подобранных олимпиадных задач. Я наблюдаю, как поднаторевшие в олимпиадах студенты теряются в ситуации рутинной математической работы, когда надо просто что-то доказать или решить. Они ведь приучены, что решение ожидается коротким и эффектным, задачи без таких решений для них просто не существуют. Для реальных же проблем это сугубо второстепенно -- красиво или нет они впервые решены, быстро или медленно. Важно только одно: решены или нет.

Мне кажется, что совместить эти несовместимые требования: исследовательский уровень (т.е. задачи без известного ответа и кем-то гарантированного короткого решения) и небогатую школьную подготовку, да еще в сколько-нибудь массовом порядке, можно пытаться при помощи компьютера. Я оставляю в стороне вопрос о том, где его взять (а также нужные базовые программы типа Maple, Mathematica или хотя бы Derive). Сейчас у многих школьников компьютеры есть дома, а программы легко доступны на пиратских CD.

С этими средствами любой школьник может НАБЛЮДАТЬ массу интересных математических фактов, доказательства которых вполне могут быть отложены до лучших времен. Ведь как учит нас Полиа, к доказательству имеет смысл приступать только тогда, когда мы полностью уверены в справедливости теоремы. Например, факт наличия корней у любого полинома все-таки требует известной техники, но каждый старшекласник в силах проверить, что указанные машиной числа действительно решают уравнение.

Больше того, он может наблюдать зависимость корней от коэффициентов, специфику их расположения на плоскости и т.д. -- массу вещей, которые на доказательном уровне становятся порой очень не простыми. Добавим сюда возможность решать автоматически системы алгебраических уравнений и дифференциальные уравнения -- это огромное поле для исследовательской (хотя, допускаю, и не вполне "научной" работы). Здесь не нужна теорема Пикара, можно ведь просто наложить фазовый портрет на картину векторного поля (все это возникает "из машины", но исходный пример ведь выбирает школьник, и после некоторого опыта он может видеть неподвижные точки и предельные циклы, отличать устойчивые циклы от неустойчивых, различать локальные типы фазовых портретов). Еще пример: можно очень наглядно видеть течение плоских потоков идеальной жидкости, или картину силовых линий плоских электрических полей, или конформность отображения комплексной области, зная лишь чуть больше, чем правила действий с комплексными числами!

Другие области, громко зовущие к себе любознательных школьников с компьютерами -- это динамика полиномиальных (даже квадратичных) отображений и свойства цепных дробей, представляющих иррациональности. Это уже просто передний край науки: ведь никто толком не умеет оценивать длины периодов квадратичных иррациональностей!
Конечно, просто любоваться на фракталы -- все равно что бросать в воду камушки. Как учит незабвенный Козьма Прутков, при этом важно наблюдать за кругами, от них расходящимися, т.е. читать книжки и учиться видеть СМЫСЛ происходящего, а не только его внешнюю форму. Вот это и есть научная работа -- искать в книжках смысл математики, наблюдаемой экспериментально.

Прошу простить за длинное и, вероятно, банальное письмо.

Всего доброго, Сергей Керов.