А. Е. Миронов. Интегрируемые бильярды Биркгофа.

    В докладе будет рассказано о бильярдах Биркгофа. В частности, мы рассмотрим бильярдные траектории внутри конуса над выпуклым многообразием в . Оказывается, что если многообразие -гладкое, то каждая траектория совершает конечное число соударений. При этом существуют -гладкие конусы, для которых бильярдные траектории совершают бесконечное число соударений за конечное время. Отсюда вытекает, что бильярд внутри конуса над -гладким выпуклым многообразием интегрируем. Это первый пример интегрируемого бильярда, когда бильярдный стол не является квадрикой.

После доклада Д. Н. Запорожец сообщит о планах работы Санкт-Петербургского математического общества.

В ближайшее время заседаний не планируется: летние каникулы

R. L. Frank. Direct and inverse scattering for the continuum Calogero-Moser equation.

    The CCM equation (also known as Calogero–Moser derivative nonlinear Schrödinger equation) is a nonlinear dispersive equation in 1+1 dimensions that is completely integrable. The corresponding Lax operator is a first order operator in the Hardy space on the real line. We develop a spectral theory of this operator, building Jost solutions, proving absence of singularly continuous spectrum and introducing scattering coefficients. We also prove trace formulas of Birman-Krein and Faddeev-Zakharov type. Finally, we propose an inverse scattering scheme for the solution of the CCM equation. The talk does not assume any previous knowledge of the CCM equation. It is based on joint work with Larry Read.

Видео

А. В. Колесников. Гипотеза Бургейна о гиперплоскости

    В недавней работе B. Klartag, J. Lehec Affirmative Resolution of Bourgain's Slicing Problem using Guan's Bound (https://arxiv.org/abs/2412.15044) было получено решение знаменитой гипотезы Бургейна о гиперплоскости (90-е гг. XX века). Задача о гиперплоскости имеет элементарную формулировку как вопрос об объеме сечений многомерных выпуклых множеств. Она связаны с некоторыми другими (пока открытыми) известными задачами на стыке анализа, вероятности и выпуклой геометрии. Я расскажу про историю вопроса, смежные задачи и (обзорно) об идеях и методах решения. В решении этой задачи задействованы идеи выпуклой геометрии, дифференциальной геометрии, теории пространств Соболева, теории гауссовских мер, стохастические дифференциальные уравнения и многое другое.

А. К. Ставрова. Проста ли простая алгебраическая группа?

    Абстрактная группа (т.е. множество с бинарной операцией) называется простой, если у нее нет нетривиальных нормальных подгрупп, или, что то же самое, нет нетривиальных гомоморфных образов. Простые группы Ли, такие как , вообще говоря, не удовлетворяют этому определению — традиционные соглашения в дифференциальной геометрии предполагают, что они могут иметь нетривиальный дискретный центр. То же самое несоответствие терминологии возникает и для простых алгебраических групп, которые являются аналогами простых групп Ли в алгебраической геометрии. Если простая алгебраическая группа над полем изотропна (условие, соответствующее не-компактности для простых групп Ли), то ее группа точек , по крайней мере, содержит "большую" нормальную подгруппу , фактор-группа которой по центру — простая абстрактная группа (теорема Титса). Мы обсудим, при каких условиях группа совпадает с и максимально близка к тому, чтобы быть простой в обычном смысле.

Е. А. Злобина. Касательная дифракция коротких волн на контурах со скачком кривизны

    Речь пойдет об одном классическом вопросе математической теории дифракции — построении асимптотических формул в коротковолновом приближении. Будет рассмотрено несколько двумерных задач дифракции на контурах, кривизна которых в некоторой точке меняется скачком, причем падающая волна приходит в точку негладкости вдоль касательного направления. В этих задачах нам удалось развить систематический метод пограничного слоя в духе ленинградской-петербургской школы и построить явные простые асимптотики для волнового поля.

А. В. Алпеев. C*-простота и граница Пуассона.

    Граница Пуассона — классический объект, определяемый для марковских цепей, в том числе — для случайных блужданий на группе. Одна из её интерпретаций связана с гармоническими функциями. Другой связанный с группой граничный объект — граница Фюрстенберга. Она оказалась важна в изучении свойства С*-простоты: Кеннеди и Калантар выяснили, что С*-простота группы (то есть простота её редуцированной С*-групповой алгебры) эквивалентна топологической свободе действия группы на её границе Фюрстенберга.
    Я покажу, что аналог теоремы Кеннеди и Калантара выполняется и для границы Пуассона с типичной вероятностной мерой на счётной группе.

Видео

Математика как область применения AI и компьютерных наук в целом всегда оставалась для меня загадкой: самая формализованная часть человеческой деятельности, тем не менее, неизменно оказывалась очень сложной для автоматизации. Громких теорем, доказанных полностью автоматически, всё ещё нет, но кажется, что успех понемногу приходит с неожиданной стороны: не от автоматических пруверов, а от больших языковых моделей (LLM). В докладе мы обсудим текущее положение дел с математическими рассуждениями у LLM, увидим, какой скачок произошёл с появлением рассуждающих моделей и, возможно, немного помечтаем о будущем...

Заседание проходило в режиме on line.

Видео

The theory of phase coexistence is a classical field, with foundational contributions, among the others, from Gibbs, van der Waals, and Lev Landau. The associated problem of phase separation connects to the theory of minimal surfaces, as exemplified by the seminal work of Ennio De Giorgi. In this context, phase coexistence is inherently interdisciplinary, encompassing aspects of physics, materials science, mathematical analysis, and differential geometry. Recently, significant attention has been directed toward models where surface tension, which governs phase separation, emerges as a macroscopic average of long-range particle interactions. This becomes particularly relevant at molecular scales, where nonlocal interactions are not efficiently averaged out. This framework leads to the study of the nonlocal Allen-Cahn equation and fractional minimal surfaces. We will discuss recent results in these areas and highlight some open problems that remain to be addressed.

Заседание проходило в режиме on line.

Видео

На заседании выступили С. Ю. Пилюгин, И. А. Ибрагимов, В. М. Бухштабер, А. Ю. Окуньков, А. А. Лодкин, В. А. Кайманович, Г. И. Ольшанский, Т. В. Смирнова-Нагнибеда, Ф. В. Петров, К. М. Азадовский, Д. Г. Долгова. Были показаны слайды и фрагмент последнего интервью А. М. Вершика.

Заседание проходило в смешанном режиме.

Подробный отчет и видео