Гипотеза Виттена (1991) утверждает, что производящая функция для индексов пересечений некоторых характеристических классов на пространствах модулей комплексных кривых удовлетворяет уравнениям иерархии Кортевега - де Фриза. К настоящему времени известно несколько доказательств этой гипотезы, однако все они используют - в той или иной степени - математику, выходящую за рамки формулировки гипотезы. В докладе изложено недавнее доказательство, принадлежащее М.Э.Казаряну и докладчику, которое остается внутри этих рамок. Доказательство основано на изучении чисел Гурвица, перечисляющих разветвленные накрытия двумерной сферы с предписанным ветвлением над единственной точкой сложного ветвления.
Оказывается, что производящая функция для таких чисел удовлетворяет уравнениям иерархии Кадомцева - Петвиашвили (это утверждение находится в русле работ Окунькова), а формула Экедаля - Ландо - Шапиро - Вайнштейна позволяет редуцировать уравнение КП для чисел Гурвица к уравнению КдФ для индексов пересечений.

Выступили: О.Я.Виро, А.М.Вершик, А.А.Гриб, Н.А.Шанин, Н.Е.Фирсова, А.И.Назаров и другие.

На не совсем традиционном заседании СПбМО произошел обмен соображениями о том, как математики воспринимают математическую реальность, т.е. предмет своих основных занятий; как они соотносят ее с окружающим нас реальным миром, смежными науками, образованием и др.; в чем истинные проблемы сложностей и даже конфликтов, возникающих между матемамтическим и иным познанием.

Видеозаписи основных выступлений см. здесь и здесь.

Методы, разработанные для анализа континуум-проблемы Кантора, привели не только к доказательству независимости гипотезы континуума (К.Гедель - совместимость гипотезы континуума, 1939; П.Дж.Коэн - совместимость отрицания гипотезы континуума, 1963), но и к открытию булевозначных моделей теории множеств (Д.Скотт, Р.Соловей, П.Вопенка, 1967) и булевозначного анализа. Основополагающий факт булевозначного анализа - теорема, полученная Е.И.Гордоном (1977), - утверждает, что изображение поля вещественных чисел в булевозначной модели приводит к важному типу функциональных пространств, введенных Л.В.Канторовичем (1935). Это обстоятельство позволяет некоторые классы операторов со значениями в пространстве Канторовича рассматривать как вещественнозначные функционалы и приводит к большому количеству приложений в теории положительных и мажорируемых операторов, теории операторных алгебр, теории модулей Капланского-Гильберта, выпуклом анализе и т.п.
В качестве иллюстрации плодотворного взаимодействия классического анализа, алгебры и математической логики рассматривается проблема А.Викстеда (1977) о порядковой ограниченности нерасширяющих операторов в пространстве Канторовича.

Доклад посвящен доказательству гипотезы Милнора о 4-мерном роде торических узлов, которое получил недавно Я.Расмуссен при помощи гомологий Хованова.

Родом узла называется наименьший род поверхности с краем, вложенной в R³ таким образом, что край совпадает с данным узлом. Если представить R³ как гиперплоскость в R⁴ и допустить поверхности, выходящие в четвертое измерение, то соответствующий минимум называется 4-мерным, или срезанным, родом; он меньше или равен обычному. Гипотеза Милнора гласит, что для торических узлов имеет место равенство.

Гипотезу Милнора впервые доказали в 1993 году Кронхаймер и Мровка, использовавшие калибровочную теорию. Доказательство Расмуссена гораздо более элементарно: при помощи гомологий Хованова он строит некий комбинаторный инвариант узла и, изучая его поведение под действием кобордизмов, получает неравенства, связывающие его с обычным и 4-мерным родом для одного класса узлов, включающего торические.

В докладе была изложена конструкция гомологий Хованова и приведена принципиальная схема рассуждений Расмуссена.

В докладе дан обзор результатов, относящихся к следующим трем проблемам.

1) "Dif=Def" проблема в комплексной геометрии:
Пусть комплексные компактные поверхности X и Y (рассматриваемые как гладкие дифференцируемые многообразия, dim _R X=dim _R Y=4) являются диффеоморфными друг другу. Будут ли X и Y деформационно эквивалентными?

2) "Dif=Def" проблема для плоских алгебраических кривых с каспидальными особенностями:
Пусть алгебраические кривые C₁, C₂, лежащие в комплексной проективной плоскости CP², имеют в качестве особых точек только обыкновенные каспы и ноуды (т.е. особенности типов x²=y² и x²=y³). Предположим, что пары (CP², C₁) и (CP², C₂) являются диффеоморфными. Будут ли кривые C₁ и C₂ деформационно эквивалентными?

3) "Dif=Def" проблема в вещественной геометрии:
Пусть c _X и c _Y — вещественные структуры на комплексных поверхностях X и Y и пусть X и Y являются деформационно эквивалентными как комплексные поверхности и эквивариантно (относительно вещественных структур c _X и c _Y) диффеоморфными. Будут ли (X, c _X) и (Y, c _Y) эквивалентны друг другу относительно вещественных деформаций?

Премия общества «Молодому математику» за 2005 год присуждена О.А.Тараканову.

Обсуждалась наблюдающаяся деградация школьного математического образования и опасности, связанные с непродуманным характером предлагаемых реформ (ЕГЭ, изменение статуса олимпиад).
Выступили: А.М.Абрамов (Москва), О.А.Иванов, М.Я.Пратусевич, С.Е.Рукшин.
Принято решение о подготовке резолюции по обсуждавшемуся вопросу.

В 1928 г. А.Картан получил оценку для размера плоского множества, на котором модуль многочлена с комплексными корнями превосходит заданное число. Эта лемма играет важную роль в теории функций; ее можно трактовать как оценку логарифмического потенциала с дискретной мерой, целочисленные заряды которой находятся в нулях многочлена и равны кратностям этих нулей. Методом Картана можно оценивать потенциалы и с другими положительными ядрами. Изучение размеров множества Z(P,m) : = {z\in C : | Cm(z)| > P} для потенциала (преобразования) Коши Cm(z)= \int_C(\xi-z)^{-1}dm(\xi) с аналогичной мерой m было начато Макинтайром и Фуксом в 1940 г. (в этом случае потенциал Коши равен логарифмической производной соответствующего многочлена). Но поставленная ими задача была решена лишь в прошлом году в совместной работе Дж.Андерсона и Эйдермана (ДАН, 2005). Прогресс оказался возможным благодаря новому аппарату, развитому в последние 10 лет Мельниковым, Толсой и другими, приведшему к недавним замечательным достижениям в теории аналитической емкости. В докладе было рассказано о некоторых из этих понятий и фактов и их применении к решению задачи Макинтайра и Фукса, а также о совсем недавнем обобщении этой задачи на потенциалы Коши с произвольными мерами m.

В докладе было рассказано о последних достижениях в теории мотивных когомологий — универсальной целочисленной теории когомологий, определенной для гладких многообразий над произвольным полем. В частности, рассказано о доказательстве гипотезы Блоха – Като, полученном недавно Воеводским и Ростом. Гипотеза Блоха – Като — одна из центральных гипотез алгебраической К-теории — связывает между собой К-группы, когомологии Галуа и (при р=2) квадратичные формы.

Около двадцати лет назад в работах Г.Сигала, М.Атьи, Е.Виттена и других было замечено, что некоторые из моделей, возникающих в различных областях математической физики и математики, обладают одинаковыми топологическими свойствами, описываемыми довольно простой системой аксиом. Теории, удовлетворяющие этим аксиомам, и называются топологическими теориями поля. Важным примером двумерных топологических теорий поля является топологическая теория струн, претендующая на топологический фундамент единой теории поля. Другим примером двумерных топологических теорий поля являются числа Гурвица вещественных и комплексных алгебраических кривых.
В докладе было дано алгебраическое описание двумерных топологических теорий поля. Доклад основан на совместной работе автора и А.В.Алексеевского.

В асимптотической геометрии изучаются свойства метрических пространств, которые видны только издалека, на больших расстояниях. При этом локальная геометрия не играет никакой роли. Основной класс морфизмов -- квази-изометрические отображения, т.е.отображения, билипшицевы во всех достаточно больших масштабах. Было рассказано о нескольких инвариантах -- крупно-масштабных родственниках топологической размерности, -- с помощью которых удалось решить ряд проблем вложения и невложимости в классе квази-изометрических отображений.

Понятие операды естественно возникает при изучении операций в алгебраических структурах. Классические алгебраические структуры допускают естественную переформулировку на языке операд. Например, ассоциативная алгебра становится алгеброй над ассоциативной операдой, алгебра Ли - алгеброй над операдой Ли и т.д.. Одно из замечательных свойств такого языка состоит в том, что почти все естественно возникающие операды кошулевы. Последнее свойство есть обобщение известного понятия кошулевости для алгебр. Кошулевость операды позволяет доказывать общие гомологические утверждения о произвольных алгебрах над ней, вводить понятие соответствующей гомотопической структуры и т.п.

Доклад носил обзорный характер.

Степенная геометрия -- это новый уровень дифференциального исчисления, нацеленный на существенно нелинейные задачи. Для уравнений и систем уравнений (алгебраических, обыкновенных дифференциальных и в частных производных) степенная геометрия позволяет вычислить асимптотики решений, а также локальные и асимптотические разложения решений в бесконечности и вблизи любой особенности уравнений (включая пограничные слои и сингулярные возмущения).
Элементы плоской степенной геометрии для алгебраического уравнения предложил Ньютон (1680), а для обыкновенного дифференциального уравнения --- Брио и Буке (1856). Пространственная степенная геометрия для нелинейной автономной системы ОДУ предложена автором (1962) и для линейного уравнения в частных производных --- Михайловым (1963).
Дается простое изложение основных концепций и алгоритмов степенной геометрии: носитель и многогранник уравнения, грани и укороченные уравнения, степенные и логарифмические преобразования уравнения и системы уравнений и системы уравнений. Для примеров используется третье уравнение Пенлеве. Дается также обзор некоторых приложений степенной геометрии: в уравнениях движения твердого тела с неподвижной точкой, в теории пограничного слоя на игле, в уравнении колебаний спутника.

Доклад посвящен истории доказательства знаменитой гипотезы Виттена о числах пересечений на пространствах модулей алгебраических кривых, начиная с пионерских работ Виттена и Концевича и кончая результатами последнего времени Окунькова и Пандхарипанда. Было рассказано, как, благодаря этой гипотезе, обнаружилась тесная связь между такими, на первый взгляд, разобщенными теориями, как алгебраическая геометрия (теория пересечений алгебраических циклов на пространствах модулей), теория интегрируемых систем (уравнения Кортевега-де Фриза), матричные интегралы и комбинаторика (теория Гурвица разветвленных накрытий двумерной сферы и перечисление случайных деревьев).

В этом обзорном докладе сделана попытка описать теорию диофантовыx уравнений с точки зрения аналитической теории чисел. Помимо обсуждения общиx результатов, с одной стороны, показывающиx "универсальность" диофантовыx уравнений (как известно, любое перечислимое множество совпадает с множеством положительныx значений полинома с целыми коэффициентами), и, с другой стороны, позволяющиx оценить число решений для широкого класса диофантовыx уравнений, были приведены конкретные примеры из новейшыx работ.

В общество приняты: Е.А.Благовещенская, Т.Н.Рожковская, Д.С.Челкак.

1. Отчёты правления, казначея, редколлегии и ревизионной комиссии.
2. Обсуждение отчетов и выработка рекомендаций по дальнейшей работе (уточнение правил приема в общество и представления препринтов, взносы, содержание сайта общества и др.).
3. Выборы президента, вице-президентов, правления, редколлегии и комиссий.

Почетным членом Общества избран Н.А.Шанин.

Важные одномерные функции распределения в разнообразных дискретных вероятностных моделях (такие как распределение длины наибольшей возрастающей последовательности случайных подстановок или время проницаемости в направленной перколяции) удовлетворяют рекуррентным соотношениям, известным как дискретные уравнения Пенлеве. Эти уравнения впервые были получены в работах по алгебраической геометрии об изоморфизмах проективной плоскости, раздутой в девяти точках. Связь между вероятностью и геометрией устанавливается с помощью теории изомонодромных преобразований линейных разнотных уравнений.

Докладчики: М.И.Башмаков, А.И.Плоткин, В.И.Рыжик.

Вручены премии общества за 2004 год А.Д.Баранову и Д.С.Челкаку.

Хорошо известный в комбинаторике и логике факт состоит в том, что существует единственный универсальный граф и что при естественном определении понятия случайности случайный граф с вероятностью единица является тем самым универсальным. Менее известно, что еще в 1924 году П.С.Урысон определил универсальное польское пространство, единственное с точностью до изометрии.
В последние годы докладчик исследовал это понятие, определил понятие случайного пространства и доказал факт, аналогичный упомянутому. Оказалось, что свойства универсального метрического пространства и особенно группы его изометрии связаны с интереснейшими проблемами из разных областей математики.

Считается, что из всех компактных поверхностей только тор может быть плоским. На самом деле плоская метрика может быть задана на поверхности любого рода, достаточно лишь спрятать лишнюю кривизну в несколько точек с коническими особенностями. Многие динамические системы в размерности 1 и 2 (перекладывания отрезков, биллиарды в многоугольниках, измеримые слоения) эквивалентны прямолинейным потокам на таких плоских поверхностях.

Плоская структура может быть задана голоморфной 1-формой на римановой поверхности; семейства плоских структур отвечают пространствам модулей голоморфных 1-форм. На пространстве плоских поверхностей действует группа SL(2,R). Оказывается, для того чтобы описать динамику прямолинейного потока на индивидуальной плоской поверхности, достаточно найти орбиту соответствующей поверхности под действием группы SL(2,R).

В первой части доклада речь шла о недавних результатах, полученных в этой области, и об открытых проблемах. Во второй части было рассказано о ренормализации для перекладывания отрезков и о том, как с помощью тейхмюллерова геодезического потока построить машину времени. В простейшем частном случае, когда плоская поверхность - обычный плоский тор, роль ренормализации играет алгоритм Евклида, машина времени превращается в разложение числа вращения иррационального потока в цепную дробь, а тейхмюллеров геодезический поток становится геодезическим потоком на верхней полуплоскости в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского.

Тема доклада восходит к классическим работам Э. Артина и Г. Хассе, в которых они впервые поставили задачу явного вычисления символа Гильберта. Ими были получены изящные явные законы взаимности в нескольких важных частных случаях для кругового локального поля. Эти работы послужили отправной точкой для целого ряда исследований в этой области. В результате сложилось два относительно независимых подхода к вычислению спаривания Гильберта в явном виде, которые приводят к явным формулам типа Артина-Хассе и формулам куммерова типа. В докладе был представлен обзор классических явных законов взаимности, принадлежащих к двум типам явных формул, и рассмотрены явные законы взаимности в высшей локальной теории полей классов. После краткого обзора многомерных локальных полей и топологических К-групп Милнора были представлены результаты автора. Для кругового расширения абсолютно неразветвленного стандартного многомерного полного поля из ранее доказанной формулы Востокова, принадлежащей к куммерову типу, были выведены обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы.

В докладе было дано описание границы Пуассона для класса групп, действующих на корневых деревях. Построены первые примеры групп субэкспоненциального роста, допускающих случайное блуждание с нетривиальной границей. В качестве одного из применений находятся новые асимтотики промежуточного роста групп.

Алгоритм разложения числа в обычную цепную дробь обладает многими замечательными свойствами. В том числе:

1. Он прост.
2. Он дает наилучшие рациональные приближения к числу.
3. Он периодичен для квадратичных иррациональностей.

В XVIII, XIX и XX веках были сделаны многочисленные попытки обобщить этот алгоритм на векторы (Эйлер, Эрмит, Якоби, Дирихле, Пуанкаре, Гурвиц, Брун, Минковский, Клейн, Вороной, Перрон, Скубенко, Арнольд и др.). Но пока так и не найден алгоритм, обладающий свойствами 1 и 2 и свойством

3'. Периодичность для кубических иррациональностей.

Только алгоритм Вороного обладает свойствами 2 и 3', но он довольно громоздок. Многогранники Клейна-Скубенко-Арнольда, хотя и дают геометрическую интерпретацию наилучших приближений, но не дают основы для хорошего алгоритма, что было выяснено в работах докладчика и В.И.Парусникова. Алгоритмические и геометрические концепции, заложенные в указанные обобщения, видимо, недостаточно отражали фундаментальные свойства цепной дроби.
В докладе предложена новая двумерная концепция цепной дроби, которая затем обобщается на трехмерную ситуацию и позволяет построить алгоритм, обладающий свойствами 1, 2 и 3'. Рассмотрены примеры с подробными вычислениями по новому алгоритму.

Понятия "натуральное число", "рациональное число", "алгебраическое число" таковы, что объекты, называемые этими терминами, обладают "индивидуальными заданиями" в виде слов в подходящих алфавитах.
Иначе обстоит дело с понятием "вещественное число". В теоретико-множественной математике это понятие не связывается с какими-либо "заданиями" подразумеваемых объектов посредством знакосочетаний. Его определение апеллирует (как и вся канторова теория бесконечных множеств в целом) к некоторым "далеко идущим" идеализациям результатов экспериментального познания природы, и с этой точки зрения представляется "туманным".

В математических текстах встречаются разнообразные примеры "индивидуально заданных" иррациональных чисел -- в частности, заданных в виде алгорифмов последовательного построения рациональных чисел, дополненных алгорифмически заданными регуляторами сходимости в себе таких последовательностей. Примеры этого рода "подсказали" используемое в конструктивной математике понятие "конструктивное вещественное число". Однако попытки достаточно отчетливого разъяснения "содержательного смысла" формального определения этого понятия наталкиваются на препятствия принципиального характера. Приходится признать это понятие, а также понятие конструктивной функции на конструктивном континууме,"размытыми".
Несмотря на эти "размытости", предоставляемые математическим анализом (даже в его традиционном варианте) приложениям математики разнообразные теоретические модели часто оказываются "работоспособными", в частности, в задачах, требующих доведения процесса решения "до конкретного числа". Это означает, что в процессах применения таких математических моделей фигурируют процедуры "освобождения от бесконечностей".
Прослеживая "технологии" процедур этого рода, можно увидеть возможность такого варьирования базисных представлений теории функциональных пространств, в результате которого в широком классе случаев принципиального характера окажется ненужным использование общего понятия вещественного (конструктивного вещественного) числа.
"Варьированная" система понятий и представлений укладывается в рамки намеченной Л.Кронекером и более отчетливо очерченной Д.Гильбертом финитарной установки.

В докладе были детализированы сформулированные выше тезисы.

• Постановка задачи о выявлении спектральной структуры матрицы.
• Расслоение спектра тем или иным заданным семпейством кривых.
• Критерии спектральной дихотомии (линейной, круговой, эллиптической).
• Вычисление этих критериев через решение матричных уравнений, обобщающих уравнеие Ляпунова.
• Неперерывная зависимость критериев от исследуемых матриц.
• Приложения в теории краевых задач для дифференциальных и разностных уравнений.

Премия общества "Молодому математику" за 2003 год присуждена А.Н.Зиновьеву за работу Обобщенные явные формулы Артина -- Хассе и Ивасавы.

Будут рассказаны и обсуждены контрпримеры к старой гипотезе: если радиусы главной кривизны поверхности гладкого трехмерного тела K всюду разделены постоянной C, то K есть шар радиуса C.
Доклад основан на работах А.В.Погорелова, И.Мартинеса-Мора и докладчика.

Когомологии пространства узлов и их комбинаторные формулы

Теория инвариантов узлов является лишь частью более естественной задачи вычисления кольца когомологий пространства узлов в Rⁿ, n>=3. Любой такой класс когомологий (например, инвариант) можно задать индексом пересечения с подходящим классом относительных гомологий в пространстве узлов. Комбинаторной формулой для него называют простой полуалгебраический цикл, реализующий этот класс гомологий. Наиболее известный пример комбинаторных формул для инвариантов -- это диаграммы Поляка-Виро.

В докладе было рассказано о вычислении старших классов когомологий и описан эффективный (то есть не требующий моделирования непрерывных процессов, деформаций пространственных объектов, ray-tracing и пр.) комбинаторный алгоритм для нахождения комбинаторных формул (в том числе и для инвариантов). Этот алгоритм основан на аналогии теории узлов с комбинаторной теорией наборов аффинных плоскостей и часто является простейшим или единственным доказательством существования класса когомологий.

Видео

В 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 математические проблемы. Десятая из них была про диофантовы уравнения. 70 лет спустя было строго доказано, что эта проблема не имеет решения. Техника, развитая для этого доказательства, нашла многочисленные приложения как для доказательства неразрешимости других проблем, так и для получения "положительных" результатов.

В последние годы появился ряд работ, в которых техника так называемой некоммутативной геометрии применяется к изучению (коммутативных) теоретико-числовых структур: например, работа А.Конна по дзета-функции Римана, работы Ю.И.Манина и М.Марколли по аракеловской геометрии, модулярным символам и модулярным формам, работа Манина по гипотетической теории "вещественного умножения" как некоммутативная версия классической теории эллиптических кривых с комплексным умножением.

В докладе будут объяснены некоторые из соответствующих структур и основных идей, а затем предложен новый, более универсальный, подход, который работает не только на уровне алгебраических структур, но и на уровне целостных арифметических структур.

Этот подход основывается на принципе гипердискретизации из нестандартной математики и его многочисленных приложениях. В ряде случаев теневой образ гиперкоммутативной конструкции должен быть тесно связан с некоммутативным описанием посредством обобщения известного в теории струн отображения Зайберга-Виттена.

Возникшая около 20 лет назад симплектическая топология оказалась сегодня связанной со многими областями математики и теоретической физики: от гамильтоновой динамики, топологии трех- и четырехмерных многообразий, алгебраической геометрии до теории интегрируемых систем и теории струн.
В докладе были обсуждены основные идеи симплектической топологии и некоторые ее приложения.

По всякому многочлену можно построить алгебру, профакторизовав алгебру дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами по идеалу, аннулирующему данный многочлен. В докладе сделан обзор методов и результатов элементарной теории простых многогранников, связанных с алгеброй, построенной по многочлену объема. Определение этой алгебры принадлежит Пухликову и Хованскому. Алгебра моделирует кольцо когомологий гладкого проективного торического многообразия. Многие теоремы алгебраической геометрии (включая теорему Римана-Роха, сильную теорему Лефшеца, билинейные соотношения Ходжа-Римана) имеют аналоги в элементарной геометрии простых многограников и наиболее естественно формулируются в терминах многочлена объема.

Доклад представляет собой лекцию по проективной геометрии. При изучении компактификаций введенных Дринфельдом пространств модулей "штук" с уровневой структурой или (по Фалтингсу) локальных модулей многообразий Шимуры, возникает задача о том, как компактифицировать факторы
PGL(r) x ... x PGL(r) / PGL(r) эквивариантным образом. Предлагается общий метод такой компактификации. Он также применим в случае конфигурационных пространств матроидов.
Все получающиеся таким образом компактифицированные схемы снабжены структурным морфизмом (который является гладким в случаях, когда факторов не более трех или когда ранг равен двум, но не в общем случае) над "торическим пучком", точки которого являются покрытиями некоторого целочисленного многогранника. Имеется индуцированная стратификация, слои которой могут быть описаны в терминах склеивания тонких клеток Шуберта.
Все компактифицированные схемы имеют по крайней мере две модулярные интерпретации:
- как классификация эквивариантных векторных расслоений на некоторых торических многообразиях;
- как классификация определенных проективных рациональных многообразий с логарифмическими особенностями (которые обобщают "минимальные модели проективных пространств", введенные Фалтингсом).

М.И.Башмаков. Проект национального стандарта школьного математического образования.
Приложение -- рабочие варианты стандартов: базовая школа, основная школа, профильная школа.

А.Л.Семенов, ректор Московского института открытого образования (МИПКРО). Стандарты по математике и информатике в общем контексте российского школьного образования.

В.А.Рыжик. Цели школьного математического образования.

М.Я.Пратусевич. О содержании профильного образования.

Дискуссия.

Сложность доказательств для логики высказываний -- активно развивающаяся область математики. Наличие доказательств, ограниченных по длине полиномом от размера доказываемого утверждения, означало бы равенство сложностных классов NP и coNP. Известны же лишь нижние (и верхние) оценки сложности доказательств для конкретных систем доказательств (и конкретных тавтологий, соответственно).

Первая часть доклада представляла собой введение в эту область и обзор известных систем доказательств и результатов о них.

Вторая часть доклада была посвящена результатам докладчика (совместным с Д.Ю.Григорьевым и Д.В.Пасечником), касающимся полуалгебраических (т.е. использующих рассуждения о полиномиальных неравенствах) доказательств. Например, вот доказательство принципа Дирихле:

\sum_{k=1}^m (\sum_{l=1}^{m-1} x_{kl}-1) + \sum_{l=1}^{m-1} ( \sum_{k=1}^m (\sum_{k\neq k'=1}^m (1-x_{kl}-x_{k'l}) x_{kl} + (x_{kl}^2-x_{kl})(m-2)) + (\sum_{k=1}^m x_{kl}-1)^2 ) = -1.

(В докладе было сказано, почему.) Доказательства же этого принципа во многих других системах имеют экспоненциальную (от количества кроликов m) длину.

Пусть f -- гомеомоpфизм метpического пpостpанства (X, dist). Фиксиpуем положительное число d. Последовательность y={y_k} называется d-псевдотpаектоpией гомеомоpфизма f, если выполнены неpавенства dist (f (y_k), y_k+1) < d. Гомеомоpфизм f обладает стандаpтным свойством отслеживания, если по любому e > 0 можно указать такое d > 0, что для любой d - псевдотpаектоpии y найдётся точка x, удовлетвоpяющая неpавенствам dist (f^k(x), y_k) < e. В докладе pассказано о введённых недавно оpбитальных свойствах отслеживания, в котоpых вместо выполнения этих неpавенств тpебуется выполнение либо включений y\subset N(e, O(x,f)) или O(x,f) \subset N(e,y), либо неpавенства dist_H(clos(y), clos(O(x,f)) < e, где N(a,A) -- a-окpестность множества A, O(x,f) -- тpаектоpия точки x в динамической системе, поpождаемой гомеомоpфизмом f, а dist_H -- метpика Хаусдоpфа. Рассказано также о некотоpых (иногда весьма неожиданных) связях введённых свойств с глобальной качественной теоpией динамических систем.

Рассказано о задачах астрофизического происхождения, в которых ищется объяснение того, как из "звездной пыли" под действием гравитационных сил и случайности возникают более крупные космические тела. Даже простейшая одномерная модель еще изучена не полностью. Она дает хорошее представление об арсенале теории вероятностей и приводит к неожиданным связям с другими задачами и разделами математики.

Есть два принципиально различных способа сопоставить узлу в трехмерном пространстве граф. Первый из них состоит в том, чтобы рассмотреть проекцию узла на плоскость вдоль общего направления. В результате мы получаем регулярный граф на плоскости, все вершины которого имеют валентность 4, причем в каждой вершине выделена "проходная" и "переходная" пары противолежащих ребер. Второй подход принадлежит Васильеву и ассоциирует регулярный граф специального вида (хордовую диаграмму) с "особым" узлом, имеющим простые самопересечения. Хордовую диаграмму можно сопоставить и плоской проекции узла. Инварианты хордовых диаграмм, которые приводят к инвариантам узлов, должны удовлетворять определенным ограничениям. Эти ограничения эффективно переносятся на "графы пересечений" хордовых диаграмм, которые, по сути, произвольны. Пространство, натянутое на произвольные графы, наделено естественной структурой алгебры Хопфа, а накладываемые ограничения уважают эту структуру, что позволяет ввести на интересующем нас факторпространстве структуру факторалгебры Хопфа.
В докладе рассказано о некоторых -- весьма нетривиальных и далеких от ясного понимания -- соотношениях между упомянутыми понятиями, приведено большое количество примеров инвариантов графов, порождающих инварианты узлов, а также высказаны некоторые гипотезы.

Н.С.Ермолаева. Жизнь и творчество Абеля.
А.В.Яковлев. Теорема Абеля об алгебраических уравнениях.
В.А.Малышев (Рыбинск). Интегралы с квадратическими иррациональностями.
М.А.Семенов-Тян-Шанский. Абелевы многообразия и интегрируемые задачи.
К.В.Мануйлов. Теорема Абеля об аддитивных свойствах абелевых интегралов и функций.

We consider polynomials as functions from Cⁿ to C. For certain values the topological type of the fibres can change (due to affine critical points or to "singularities at infinity"). Under certain conditions one can show that the generic fibre has the toplogy of a bouquet of spheres and that there exist invariants, which detect the values, where the function is not a fibration. Moreover we study deformations of polynomials, monodromy and relate this to boundary singualrities and Arnol'd's theory of fractions.
This is a joint research with M. Tibar.

Группа G=SL(2,R) действует на верхней комплексной полуплоскости дробно-линейными преобразованиями, причем пространство L² разлагается (без кратности) в прямой интеграл неприводимых представлений. Это свойство было изучено и обобщено Гельфандом и другими на пары (G,K), где G -- группа Ли, а K -- компактная подгруппа. Аналогом верхней полуплоскости служит пространство G/K. Пары (G,K), для которых L²(G/K) разлагается без кратности, называются парами Гельфанда. Наиболее известные примеры получаются, если G -- полупростая группа Ли, а K -- максимальная компактная подгруппа.
Обсуждено обобщение понятие пары Гельфанда на ситуацию, когда K -- замкнутая, не обязательно компактная подгруппа G, и приведен ряд примеров.

На заседании выступили Ю.Г.Решетняк, Г.М.Идлис, А.Л.Вернер, Ю.Ф.Борисов, Н.А.Шанин, С.С.Кутателадзе, В.Н.Берестовский, А.И.Назаров, А.М.Вершик.

Логическая программа -- это множество выражений, назаваемыx "правилами". Стабильные модели логической программы определяются как неподвижные точки антимонотонного оператора на множестваx атомарныx символов, ассоциированного с этой программой. Понятие стабильной модели было первоначально введено для описания поведения системы программирования PROLOG. В последние годы оно привело к разработке нового подxода к решению переборныx задач. В докладе было показано, как некоторые понятия теории графов могут быть описаны в терминаx стабильныx моделей.

На совокупности трехмерных многообразий вводится отношение частичного порядка: M \ge N, если существует отображение f: M \to N степени 1. Многообразие M называется минимальным, если из M \ge N следует, что N \cong S^3 или N \cong M. Общая задача состоит в нахождении минимальных 3-многообразий или в определении, для данного многообразия, является оно минимальным или нет. Доклад посвящен решению задачи в последней формулировке для пространств Зейферта.

Оказывается, что кроме проективного пространства имеется еще 7 минимальных линзовых пространств. Кроме того, существует бесконечно много минимальных пространств Зейферта с конечной фундаментальной группой (призмовые многообразия); среди них -- гомологическая сфера Пуанкаре, фундаметальная группа которой имеет порядок 120. Среди многообразий Зейферта с бесконечной фундаментальной группой имеется тоже бесконечно много минимальных. Все они малы в том смысле, что база расслоения Зейферта является сферой и число особых слоев равно 3. Подчеркнем, что у нас нет описания всех минимальных пространств Зейферта, но для заданного многообразия Зейферта мы умеем решать вопрос о минимальности.
(Исследования проведены совместно с К. Хайат-Легранд, Ш. Вангом, С.В. Матвеевым.)

Не отрицая необходимость улучшения школьного и, не в последнюю очередь, математического образования, участники заседания высказали серьёзную обеспокоенность возможным разрушительным эффектом реформы, которая разрабатывается без привлечения ведущих учёных. Решено подготовить резолюцию заседания. В заседании приняли участие А.М.Абрамов (Москва), Б.М.Макаров, М.И.Башмаков, В.А.Рыжик, Н.Н.Удальцова, А.Л.Вернер, А.М.Вершик, Ю.В.Матиясевич, А.А.Лодкин. Документы, имеющие отношение к конференции, помещены на странице нашего форума.

Само слово "функция" восходит к Лейбницу. Рассказано о pазвитии понятия функции вплоть до совpеменного понятия обобщённой функции.

Проблема состоит в оценке числа предельных циклов полиномиальных векторных полей, близких к интегрируемым. Основная задача связана с оценкой числа нулей абелевых интегралов от полиномиальных 1-форм по овалам вещественного многочлена на плоскости. Эта задача, лежащая на границе между алгебраической геометрией, комплексным анализом и дифференциальными уравнениями, исследовалась многими авторами : Ю.Ильяшенко (1969), Г.Петровым , А.Варченко, А.Хованским (80-е годы), Д.Новиковым, С.Яковенко (90-е). В докладе рассказано об этих исследованиях, а также о недавней работе А.Глуцюка и докладчика.

Затягивание потери устойчивости -- интересное, важное и не до конца еще понятное явление в динамике систем с медленно изменяющимися параметрами. Оно состоит в следующем.

Пусть система, зависящая от параметра, имеет при каждом фиксированном значении параметра невырожденное равновесие. Пусть при каком-то критическом значении параметра это равновесие теряет устойчивость: при значениях параметра, меньших критического, равновесие асимптотически устойчиво в линейном приближении, а при значениях параметра, больших критического -- неустойчиво. Добавим к задаче динамику самого параметра: пусть он медленно растет со временем и проходит через указанное критическое значение. Оказывается, что если система аналитична, то потеря устойчивости неизбежно затягивается: притянувшаяся к равновесию при значениях параметра, меньших критического, система остается в окрестности потерявшего устойчивость положения равновесия еще долгое время, за которое параметр успевает измениться на конечную величину, не зависящую от скорости изменения параметра.

Это затягивание потери устойчивости -- свойство именно аналитических систем, в типичных бесконечно дифференцируемых системах срыв с потерявшего устойчивость равновесия происходит вблизи критического значения параметра. Так что в явлении затягивания материализуется отличие аналитических систем от бесконечно дифференцируемых. Затягивание разрушается очень малым шумом; тем не менее оно наблюдается в компьютерных и реальных экспериментах.

Известны классические результаты Ляпунова, Перрона и других авторов об условной устойчивости решений дифференциальных систем по первому приближению и об асимптотических свойствах решений в зависимости от линейной части и нелинейности. Докладчиком введены классы так называемых слабо гиперболичных линейных систем, включающие в себя как правильные, так и гиперболические системы. Получены теоремы об условной устойчивости решений в зависимости от коэффициентов слабой гиперболичности линейной части и порядка малости нелинейного возмущения. Эти результаты являются обобщением теорем Ляпунова и Перрона.

В докладе были рассмотрены квантовая телепортация и алгоритм Дойча.

Для пространства вещественных полиномов, компактифицированного бесконечно удаленной точкой, построены клеточные разбиения, в которых полиномы, принадлежащие одной клетке, имеют одинаковую структуру корней на прямой, полупрямой и отрезке. В случае отрезка клеточное разбиение пространства полиномов степени n получается в результате приклеивания n-мерного октаэдра к n-мерному тетраэдру посредством симплициального отображения границы октаэдра на границу тетраэдра. Это позволяет осуществить линеаризацию полиномов ломаными и свести изучение топологии некоторых алгебраических многообразий к изучанию топологии кусочно-линейных объектов. В качестве приложения дается классификация уравнений Абеля, возникающих в задаче чебышевской аппроксимации с фиксированными коэффциентами.

В литературе описаны несколько нормальных форм для групп кос -- формы Артина, Гарсайда, Терстона, Бирман-Ко-Ли. Открытие каждой из них позволяло по-новому взглянуть на структуру группы.
В докладе было рассказано о новом семействе регулярных нормальных форм в группе кос, содержащем, в частности, полные стабильные нормальные формы и нормальные формы, все слова которых являются редуцированными в смысле Деорнуа.

Во многих экстремальных задачах решения обладают неожиданными свойствами симметрии. С другой стороны, если сама задача имеет определенную симметрию, естественно ожидать, что и ее решение обладает той же симметрией. Однако во многих случаях это оказывается не так.

В лекции продемонстрированы примеры симметричных и асимметричных решений, а также один из методов доказательства симметричности решений одного класса задач.

В сентябре 2001 года в Петербургском отделении Математического Института начал работать новый семинар под кодовым названием "Маломерная математика". На одном из первых заседаний семинара был обнародован список из 12 задач, присланных руководителю семинара математиками из разных городов и стран (их можно найти в Интернете по адресу http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/lowdimma.html).
Для понимания условий этих задач (и, возможно, для решения) требуется только знание того, что такое точка, прямая и кривая. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, эти задачи имеют отношение к весьма продвинутым современным математическим теориям. Одна из задач была решена прямо на семинаре одним из его участников.
В лекции было рассказано об этой решенной задаче и о нескольких еще не решенных.

1. Отчёты правления, казначея и ревизионной комиссии.
2. Выборы президента, вице-президентов, правления и ревизионной комиссии.
3. Вручение премий общества "Молодому математику" за 2001 год С.Г.Крыжевичу и А.В.Малютину. Краткие сообщения лауреатов.

Случайные блуждания на "группах мигаюших лампочек" (т.е. сплетениях, \wr (wreath product), целочисленных решёток и группы порядка два) впервые были рассмотрены А.М.Вершиком и В.А.Каймановичем в 1983 году. Например, ими было доказано, что граница Пуассона для таких групп тривиальна в случае, когда размерность решетки равна 1 или 2, и нетривиальна в случае более высоких размерностей.
В 1999 году докладчик в совместной работе с А.Жуком вычислил спектральную меру дискретного оператора Лапласа на группе Z \wr Z/2Z (для специальной системы образуюших). Неожиданно оказалось, что она дискретна. Таким образом был обнаружен первый пример группы с нетривиальной дискретной компонентой в спектральной мере. Сушественным моментом в решении этого вопроса оказалось представление Z \wr Z/2Z как группы, порождённой автоматом с двумя состояниями.
В 2000 году в совместной работе с П.Линнелом, Т.Шиком и А.Жуком докладчик применил результат о спектральной мере к построению семимерного замкнутого многообразия, у которого третье L²-число Бетти равно 1/3. Тем самым был дан ответ на вопрос Атьи о сушествовании многообразия с нецелым L²-числом Бетти, а также опровергнута так называемая Сильная гипотеза Атьи.

25 сентября
Совместное заседание общества, секции математики Дома Ученых и секции "История математики и механики" конференции
1. И. Е. Лопатухина. Основные этапы жизни и научной деятельности М.В.Остроградского.
2. В. М. Тихомиров (Москва). М.В.Остроградский и вариационное исчисление.
3. Ю. З. Алешков . Методы Остроградского в математической физике.
4. Л. И. Брылевская. Миф об Остроградском: правда и вымысел.

Традиционную математику над числовыми полями можно трактовать как квантовую науку. Имеется и ее "классический аналог" -- идемпотентная математика, т.е. математика над полуполями (и полукольцами) с идемпотентным сложением. Для идемпотентных полуполей выполнены все стандартные аксиомы кроме наличия вычитания; вместо этого выполняется свойство идемпотентности сложения: x + x = x. Типичным примером является алгебра Max-Plus, состоящая из вещественных чисел (и символа "минус бесконечность", играющего роль нуля) и имеющая операцию maximum в качестве сложения и обычное сложение в качестве (нового) умножения.
Переход от традиционной математики к идемпотентной можно рассматривать как процедуру деквантования при чисто мнимых значениях постоянной Планка. При этом уравнение Гамильтона-Якоби можно рассматривать как идемпотентную версию уравнения Шредингера, а вариационные принципы механики -- как идемпотентную версию известного подхода Р. Фейнмана к квантовой теории на основе интегралов по траекториям. Идемпотентный принцип суперпозиции состоит в том, что многие задачи и уравнения (включая уравнения Гамильтона-Якоби и Беллмана, т.е. основные уравнения классической механики и теории оптимизации) являются линейными над подходящим идемпотентным полуполем или полукольцом. Это сильно облегчает анализ решений и позволяет заимствовать идеи из математической физики и других разделов математики. Имеется и (эвристический) идемпотентный принцип соответствия в духе принципа соответствия Н. Бора в квантовой теории. Это означает, что важным и интересным понятиям и результатам традиционной математики соответствуют важные и интересные понятия и результаты в идемпотентной математике. Например, идемпотентной версией преобразования Фурье является преобразование Лежандра.
Идемпотентная математика продвинута весьма далеко (в частности, построен идемпотентный функциональный анализ) и имеет многочисленные приложения (в особенности в задачах оптимизации и оптимального управления).

Мaтeмaтичeски рeчь будeт идти о просто формулируeмых комбинaторных и вeроятностных зaдaчaх с рaстущими грaфaми нa повeрхностях.

Вещественная матpица называется вполне положительной, если все ее миноpы положительны. Такие матpицы возникают в самых pазных областях чистой и пpикладной математики: в механике малых колебаний, в теоpии случайных пpоцессов, в теоpии пpедставлений гpупп Ли и т.д.
Как устpоено мнжество вполне положительных матpиц? Как быстpо опpеделить, является ли данная матpица pазмеpа n на n вполне положительной? Сколько миноpов (и каких ?) нужно для этого пpовеpить на положительность? Ответы на эти вопpосы (не всегда, впpочем, исчеpпывающие) могут быть даны в чисто комбинатоpных теpминах (конфигуpации псевдолиний на плоскости).

Необычайно высокий уровень российской математики признан во всем мире. Особенно ясно это стало после того, как наступило время открытого и беспрепятственного общения ученых нашей страны с учеными других стран. Однако новое время принесло и новые проблемы, и сейчас можно говорить о тяжелейшей ситуации, ставящей в повестку дня вопрос о спасении нашей математики и ее замечательных традиций. Проведенное недавно изучение списка успешно окончивших мат-мех студентов за 1994-1999 годы показывает, что только небольшая их доля осталась в математике и совсем немногие из них -- в России. В первую очередь речь идет о том, чтобы удержать хотя бы часть талантливой молодежи для научной работы в составе различных научных школ, существующих в нашем городе. Не менее остра проблема поддержания должного уровня математического образования в Университете, аспирантуре, cпециализированных средних школах в связи с отъездом на постоянную работу в другие страны многих ведущих математиков. Без этого невозможно воспроизводство поколений математиков.
Авторитет российской математики достаточно высок, к мнению и оценкам нашей математической общественности прислушивается весь математический мир, однако оно до сих пор не услышано властью. Выход из положения должны искать и найти мы сами.
На нашем сайте открыта дискуссия, посвященная сформулированной проблеме, открытая для всех желающих.